öklid dışı geometriler

Öklid Dışı Geometri

Öklid'in, matematik tarihinde diğer bir çok matematikçiden daha önemli bir yeri bulunur. Bu da kendisinin 2000 yıl boyunca dünyaya matematik öğretmesidir. Kendi buluşları da olmasına rağmen en önemli çalışması olan "Elementler" kitabı kendisinden önce yapılmış olan bütün matematik çalışmalarının bir araya toplanmasından oluşur. Hatta bu kitabı yazarken izlediği ve en iyi örneklerden biri olduğu için zaman zaman kendisine maledilen, aksiyometik sistem bile Aristo'nun bilimsel çalışmalarda takip edilmesi gereken yol önerisidir. Öncelikle aksiyometik sistemlerden biraz bahsetmekte fayda var. Aksiyom ispata gerek olmayan temel gerçekler anlamını taşır. Postulat'ın aksiyomdan farkı ise aksiyomlar tüm bilimler için geçerli iken postulat'lar özel bir bilim dalı için geçerlidir. İyi bir bilimsel çalışma ne kadar az aksiyom'a ihtiyaç duyduğuna göre belirlenir. Günümüz dünyasında aralarında postulatla fark gözetilmeksizin hepsine aksiyom denmektedir. Aksiyometik sistem içinde yazılan kitaplar, öncelikle aksiyom ve tanımları veririr, ardından da her bir problemi ispatları verilerek çözülür. İspatı verilmeyen bir çözüm yöntemi başka bir problemin çözümünde kullanılmaz. Öklid 13 ciltten oluşan Elementeler'inde toplam 5 postulat kullanmıştır. Bunlar : Postulatlar
1.Herhangi iki nokta arasına bir doğru çizilebilir.
2.Bir doğru sonsuza kadar uzatılabilir.
3.Çember bir merkez ve bir uzaklıkla tanımlanır.
4.Tüm dik açılar eşittir.
5.Başka iki doğruyu kesen bir doğru, bu iki doğru ile aynı tarafta, toplamları 180o den küçük açılar oluşturursa, iki doğru bu açıların bulunduğu tarafta kesişirler.
Yukarıdaki aksiyomları okuduğunuz anda hemen sorunun farkına varıyorsunuz, Paralellik Aksiyomu olarak anılan 5. postulat diğerlerine pek de benzemiyor... Ki Öklid'de bu aksiyomdan pek hoşnut kalmamış ve ilk 28 ispatta kullanmamıştır. Aslında bugün okullarımız da okutulan ve Playfair aksiyomu olarak anılan çözüm hemen bir yüzyıl sonra Proclus tarafından verilmiştir : "Bir doğrunun dışındaki bir noktadan kendisine ancak bir paralel çizilebilir." 5. postulanın kabul edilebilir bir tanımı yapılmış olasına rağmen matematikçiler bu konu üzerinde çalışmaya devam etmişler. Bilim tarihinde bir çok konuda olduğu gibi bu konuda da bir birinden bağımsız eş zamanlı çalışmalar gerçekleşmiş ve Öklid dışı geometriler bulunmuştur. Janos Bolyai, Macar matematikçi Farkas Bolyai'nin oğlu. Asıl mesleği askerlik. Bu konu üzerindeki çalışmalarını babasının kitabında ek olarak yayınlatmış ve ünlü matematikçi Gauss'un arkadaşı olan babasından makalesini Gauss'a göstermesini rica etmiştir. Gauss'un buna cevabı ise bu konuda kendisinin bunu önceden ispatladığı fakat yayınlaamdığıdır. Bunu öğrenen Janos Bolyai kırılmış ve matematiği bırakmıştır. Gerçekten de Gauss bunu ispatlaya bilmek için üç dağın zirvesinin oluşturduğu üçgenin iç açılarını ölçerek toplamayı denemiştir. Lobachevsky ise Kazan'da kendi haline bir matematik öğretmeni iken yaptığı çalışmalrı küçük bir broşür olarak yayınlamıştır. Gauss'un gözetiminde doktora çalışması yapmış olan Reimann'ın çalışmaları ise ancak ölümünden 2 yıl sonra yayınlanmıştır. Bütün bu çalışmalara rağmen Öklid dışı geometrinin önemini ilk fark eden ise Beltrami, bu çalışmaları bir araya getirerek 2B Öklid dışı geometrilerin uygulandığı 3B Öklidyen bir geometri modeli hazırlamıştır. Öklid gemometrisi düzlemlerde ve Dünya yüzeyi gibi eğik olmakla birlikte eğikliğin göz ardı edilebileceği küçük ölçeklerde doğru işlemekle birlikte, gerçek hayyata karşılaşılan goemetri problemleri aslında Öklid dışı geometrinin konusunu oluşturuyorlar. Düzlem geometrisinde bir doğruya dışındaki bir noktadan ancak bir paralel çizilebilir iken, Gauss-Bolyai-Lobachevski geometrisinde birden fazla paralel olabilir. Reimann geometrisinde ise hiç paralel yoktur. Pratatikte İngiltere'den Amerika'ya gitmek için çizilecek rota'nın en kısa yol olması için önce biraz kuzeye çıkıp sonra tekarar güneye yönelen bir yay olması gerekir. Çünkü Dünya yüzeyi eğiktir. Einstein'ın belirttiği gibi "Uzayda iki nokta arasındaki en kısa yol bir doğru değildir." Bugün Hilbert tarafından verilen aksiyomlardan "en az birini sağlamayan bir geometri Öklidyen olmayan bir geometridir" anlayışı yerleşmiş bulunmaktadır. Taksi, projektif, hiperbolik veya metrik geometriler örnek olarak verilebilir.

öklid postulatı

Öklid Geomet

risi
Euclit geometrisinin temeli nokta iie başlar. Pisagorcular noktaıı küçük bir zerre olarak tanımlamışlardır. Bu tanım aslında Aristo’dan (İ. Ö. 340) alınmıştır. Eflatun (i. ö. 380), noktaıı bir doğrunun başlangıcı olarak tanımlamıştır. Bu kez doğru nedir sorusu karşımıza çıkmaktadır. Altıncı ıüzıılda ıaşaıan Simplicus, uzunluğun başlangıcı ve buradan doğru uzar. Aırıca bölünemez diıe noktaıı tanımlamıştır. Hiçbir parçası ol&shı;maıan ize nokta denir tanımını Euclit (İ.Ö. 300) ıapmıştır. Heron (50) da aını sözcü&shı;ğü kullanmış, noktaıı boıutsuz bir limit veıa doğrunun bir limitidir şeklinde söılemiştir. Capella (460), hiçbir parçası olmaıan şeıe nokta denir demiştir. Modern ıazarlar nok&shı;taıı sanki tanımlı bir limit kavramıdır diıe almışlardır. Dönemimizde de, nokta kabul edilen bir kavramdır. Noktaıı kabul ettikten sonra işler kolaılaşır.

Eflatuncular, ensiz uzunluğa doğru demişlerdir. Aını tanımı Euclit de almıştır. İani noktanın hareketinden doğru elde edilir. Doğrunun hareketiıle ıüzeı ve ıüzeıin hareket ile de hacim oluşturulur. Bundan sonra doğru, ıarı doğru, doğru parçası, ıü&shı;zeı, düzlemsel ıüzeı, açı, çember, daire, çap, ıarıçap, paralel doğrular ve dik doğrular gibi bir dizi geometrik tanımlar getirilmiştir.

İspatlanamaıan gerçeklere aksiıom ismi verilir. Açıkça görülen fakat ispatlana-maıan gerçeklere de postülat denir. Euciit’in geometrisi tanım, aksiıom ve postülatlar üzerine kurulmuştur. Zaten matematik aksiıomatik bir düşüncedir. Belli şeıleri kabul ederseniz: onun üzerine matematiği kurarsınız.


Öklid'in aksiıomları
Şimdi, Euclit’in beş aksiıomunu ıazalım; 1. Aını şeıe eşit olan şeıler eşittir,2. Eşit şeılere eşit çokluklar eklenirse sonuç ıine eşittir,3. Eşit şeılerden eşit çokluklar çıkarılırsa sonuç ıine eşittir,4. Birbirleriıle çakışan şeıler birbirine eşittir,5. Bütün, parçalarından büıüktür.

Şimdi de postülatlara bazı örnekler verelim.

1. iki noktadan bir doğru geçer,

2. iki nokta arasındaki sürekli doğru sonludur,

3. Bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik ıeri bir çemberdir,

4. Tüm dik açılar birbirine eşittir,

5. İki doğru bir doğru ile kesildiğinde kesenin bir tarafında oluşan iki iç açının toplamı 180 dereceden küçükse, bu iki doğru bu 180 dereceden küçük açıların bulun&shı;duğu tarafta kesişirler.

Bu postülatlar daha sonraki İunanlı bilginler tarafından çok İncelendi ve geliştirildi. Sidonlu Zeno (İ. Ö. I. ıüzııl) farklı iki doğrunun ortak bir doğru parçası ıoktur. Dördüncü ve beşinci postulatların birer teorem olduğu ıine ileri sürülmüştür. Proclus (460) dör&shı;düncü postulatı bir teorem olarak almış, ispatlamaıa çalışmış fakat başaramamıştır. Bu postülatın tersinin doğru olmasının gerekmediğini de ileri sürmüş ve bunu ispatla&shı;mıştır. Saccheri (1773) bu postülatı farklı bir ıolla ispatlamıştır.


Beşinci postülat
Matematikte en çok tartışılan ve önemli olan beşinci postülattır. Bu postülat daha çok paralellik postülatı olarak bilinir. İani, bir doğruıa dışındaki bir noktadan bu doğruıa ıalnız bir tek paralel çizilir ifadesi beşinci postülata eşdeğerdir. Bu nedenle beşinci postülat daha çok bu ifadeıle tanınır. Tarih boıunca bu postülatı ispatlamak için giri&shı;şimlerde bulunulmuştur. Bunlardan önemli girişimler Ptolemı (85 - 165), Nasirettin elTusi (1200), VVallis (1660), Saccheri (1733), Lambert (1766), Legendre (1794) ve diğerleri tarafından ıapılmıştır.


Plaıfair postülatı
Proclus’un postulatına bir alternatif Plaıfair (1795) getirilmiştir. Plaıfair’in dünıaıa tanıttığı postulat da şöıledir. Bir doğruıa dışındaki bir noktadan ıalnız bir tek paralel çizilir. İa da kesişen iki doğru bir doğruıa ve aını doğruıa paralel olamazlar. Aslında Plaıfair’in postulatı pratik olarak 1795 tarihinden önce biliniıordu. Çünkü, bu postülatı Joseph Fenn, Euclit’in Elemenfs isimli kitabını 1769 ıılında Dublin’de ıaıınladığında »azmıştı. O da, iki paralel doğrudan birini kesen doğru diğerini de keser şeklindeıdi. Proclus (460) tarafından verilen bu postülat VVilliam Ludlam (1785) tarafından da ıa&shı;zılmıştı. Zaten bu ileri sürülen postülatların tümü Euclit’in Elements isimli kitabının birinci cildinin otuz birinci saıfasında vardı. İukarıdaki ıazarların sunduğu postülatlar Euclit’in beşinci postulatının eşdeğer söılenişleriıdi.

İlkel geometrinin düzlemsel geometri problemlerinin temelleri Euclit’in Elements isimli kitabında vardı. İkiz kenar bir üçgenin taban açıları da birbirlerine eşittir. Euclit’in birinci kitabının beşini önermesi olarak geçen bu teorem, ilk kez Thales (İ. Ö. 600) tara&shı;fından ispatlandığını Proclus (460) söılemektedir. İine aını teoremin farklı bir ıoldan Pappus (300) tarafından ispatlandığını Proclus söılemektedir. Bu teorem Ortaçağ boıunca matematikçilerin dikkatini çekmiş. Roger Bacon (1250) da bu teoreme değin&shı;miştir.

öklid

Öklid gelmiş geçmiş matematikçilerin içinde adı geometri ile en çok özdeştirilen kişidir. Geometri dünyasında kapladığı bu seçkin yeri kendisinin büyük bir matematikçi olmasından çok, geometrinin başlangıcından kendi zamanına kadar bilinen ismi ile Öğeler adını taşıyan kitabında toplamıştır. Öklid derlemesinin tutarlı bir bütün olmasını sağlamak için, kanıt gerektirmeyen apaçık gerçekler olarak 5 aksiyom ortaya koyar. Diğer bütün önermeleri bu aksiyomlardan çıkarır. Öklid soruları Cahit Arf'ı matematiğe yakınlaştırır
Eğitimini Akademi'de tamamladıktan sonra İskenderiye’de büyük bir matematik okulu kuran Öklid, çağlar boyu matematikle ilgilenen hemen herkesin gözdesi olmuştur. Geometriyi ispat ve aksiyomlara dayalı bir dizge olarak işleyen 13 ciltlik kitabı “Elementler” bu alandaki ilk kapsamlı çalışmaydı. Kendinden önceki Tales, Pisagor, Platon, Aristoteles gibi matematikçi ve geometricilerin çalışmalarını temel alan Öklid’in bu yapıtı, iki bin yıl boyunca önemli bir başvuru kaynağı olarak kullanılmıştır. Düzlem geometrisi, aritmetik, sayılar kuramı, irrasyonel sayılar ve katı cisimler geometrisi Öklid’in kitabında ele aldığı başlıca konulardı. Öklid’in her önermeyi daha önceki önermelerden çıkarma yöntemi, kendisine atfedilen “geometrinin babası” sözünü de haklı kılar. Kitapta yer alan aksiyomlara, teoremlere ve ispatlara dayanan sentez yöntemlerinin Batı düşüncesi üzerindeki etkisinin Kitabı Mukaddes'ten sonra ikinci sırada yer aldığı söylenir. Russell, Elementler'in bugüne kadar yazılmış en büyük kitap olduğunu ileri sürer. Einstein ise “Gençliğinde bu kitabın büyüsüne kapılmamış bir kimse, kuramsal bilimde önemli bir atılım yapabileceği hayaline kapılmasın” der.
Öklid geometrisi 19. yüzyılın başına kadar rakipsiz kaldı. Hatta 20. yüzyılın ortalarına kadar bile orta öğretimde geometri, Öklid'in öğelerine bağlı olarak okutuldu.
Öklid'in yaşamı konusunda hemen,hemen hiçbir şey bilinmiyor. Önceleri bir Yunan kenti olan Megara'da doğduğu sanıldıysa da, sonradan Megaralı Öklid'in, Öğeler'in yazarı İskenderiyeli Öklid'den yüzyıl kadar önce yaşamış olan bir felsefeci olduğu ortaya çıkmıştır.
Öklid üzerinde çalıştığı proje hakkında diyorki: "bir doğru istenildiği kadar uzatabilir." ve "İki noktadan bir ve yalnız bir doğru gecer
Öklid geometrisinin aksiyomları şunlardır:
1- Aynı şeye eşit olan şeyler birbirlerine de eşittirler.
2- Eğer eşit miktarlara eşit miktarlar eklenirse, elde edilenler de eşit olur.
3- Eğer eşit miktarlardan eşit miktarlar çıkartılırsa, eşitlik bozulmaz.
4- Birbirine çakışan şeyler birbirine eşittir.
5- Bütün, parçadan büyüktür.
Öklid geometrisinin postülaları ise şunlardır.
1- İki yol arasını birleştiren en kısa yol, doğrudur
2- Doğru doğru olarak sonsuza kadar uzatılabilir.
3- Bir noktaya eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri çemberdir.
4- Bütün dik açılar birbirine eşittir.
5- İki doğru bir üçüncü doğru tarafından kesilirse, içte meydana gelen açıların toplamının 180 dereceden küçük olduğu tarafta bu iki doğru kesişir.
6- Bir üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.
7- Bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnızca bir tek paralel çizilebilir.
8- Bir açı ortasından tutulursa çember çizilebilir.