öklid dışı geometriler

Öklid Dışı Geometri

Öklid'in, matematik tarihinde diğer bir çok matematikçiden daha önemli bir yeri bulunur. Bu da kendisinin 2000 yıl boyunca dünyaya matematik öğretmesidir. Kendi buluşları da olmasına rağmen en önemli çalışması olan "Elementler" kitabı kendisinden önce yapılmış olan bütün matematik çalışmalarının bir araya toplanmasından oluşur. Hatta bu kitabı yazarken izlediği ve en iyi örneklerden biri olduğu için zaman zaman kendisine maledilen, aksiyometik sistem bile Aristo'nun bilimsel çalışmalarda takip edilmesi gereken yol önerisidir. Öncelikle aksiyometik sistemlerden biraz bahsetmekte fayda var. Aksiyom ispata gerek olmayan temel gerçekler anlamını taşır. Postulat'ın aksiyomdan farkı ise aksiyomlar tüm bilimler için geçerli iken postulat'lar özel bir bilim dalı için geçerlidir. İyi bir bilimsel çalışma ne kadar az aksiyom'a ihtiyaç duyduğuna göre belirlenir. Günümüz dünyasında aralarında postulatla fark gözetilmeksizin hepsine aksiyom denmektedir. Aksiyometik sistem içinde yazılan kitaplar, öncelikle aksiyom ve tanımları veririr, ardından da her bir problemi ispatları verilerek çözülür. İspatı verilmeyen bir çözüm yöntemi başka bir problemin çözümünde kullanılmaz. Öklid 13 ciltten oluşan Elementeler'inde toplam 5 postulat kullanmıştır. Bunlar : Postulatlar
1.Herhangi iki nokta arasına bir doğru çizilebilir.
2.Bir doğru sonsuza kadar uzatılabilir.
3.Çember bir merkez ve bir uzaklıkla tanımlanır.
4.Tüm dik açılar eşittir.
5.Başka iki doğruyu kesen bir doğru, bu iki doğru ile aynı tarafta, toplamları 180o den küçük açılar oluşturursa, iki doğru bu açıların bulunduğu tarafta kesişirler.
Yukarıdaki aksiyomları okuduğunuz anda hemen sorunun farkına varıyorsunuz, Paralellik Aksiyomu olarak anılan 5. postulat diğerlerine pek de benzemiyor... Ki Öklid'de bu aksiyomdan pek hoşnut kalmamış ve ilk 28 ispatta kullanmamıştır. Aslında bugün okullarımız da okutulan ve Playfair aksiyomu olarak anılan çözüm hemen bir yüzyıl sonra Proclus tarafından verilmiştir : "Bir doğrunun dışındaki bir noktadan kendisine ancak bir paralel çizilebilir." 5. postulanın kabul edilebilir bir tanımı yapılmış olasına rağmen matematikçiler bu konu üzerinde çalışmaya devam etmişler. Bilim tarihinde bir çok konuda olduğu gibi bu konuda da bir birinden bağımsız eş zamanlı çalışmalar gerçekleşmiş ve Öklid dışı geometriler bulunmuştur. Janos Bolyai, Macar matematikçi Farkas Bolyai'nin oğlu. Asıl mesleği askerlik. Bu konu üzerindeki çalışmalarını babasının kitabında ek olarak yayınlatmış ve ünlü matematikçi Gauss'un arkadaşı olan babasından makalesini Gauss'a göstermesini rica etmiştir. Gauss'un buna cevabı ise bu konuda kendisinin bunu önceden ispatladığı fakat yayınlaamdığıdır. Bunu öğrenen Janos Bolyai kırılmış ve matematiği bırakmıştır. Gerçekten de Gauss bunu ispatlaya bilmek için üç dağın zirvesinin oluşturduğu üçgenin iç açılarını ölçerek toplamayı denemiştir. Lobachevsky ise Kazan'da kendi haline bir matematik öğretmeni iken yaptığı çalışmalrı küçük bir broşür olarak yayınlamıştır. Gauss'un gözetiminde doktora çalışması yapmış olan Reimann'ın çalışmaları ise ancak ölümünden 2 yıl sonra yayınlanmıştır. Bütün bu çalışmalara rağmen Öklid dışı geometrinin önemini ilk fark eden ise Beltrami, bu çalışmaları bir araya getirerek 2B Öklid dışı geometrilerin uygulandığı 3B Öklidyen bir geometri modeli hazırlamıştır. Öklid gemometrisi düzlemlerde ve Dünya yüzeyi gibi eğik olmakla birlikte eğikliğin göz ardı edilebileceği küçük ölçeklerde doğru işlemekle birlikte, gerçek hayyata karşılaşılan goemetri problemleri aslında Öklid dışı geometrinin konusunu oluşturuyorlar. Düzlem geometrisinde bir doğruya dışındaki bir noktadan ancak bir paralel çizilebilir iken, Gauss-Bolyai-Lobachevski geometrisinde birden fazla paralel olabilir. Reimann geometrisinde ise hiç paralel yoktur. Pratatikte İngiltere'den Amerika'ya gitmek için çizilecek rota'nın en kısa yol olması için önce biraz kuzeye çıkıp sonra tekarar güneye yönelen bir yay olması gerekir. Çünkü Dünya yüzeyi eğiktir. Einstein'ın belirttiği gibi "Uzayda iki nokta arasındaki en kısa yol bir doğru değildir." Bugün Hilbert tarafından verilen aksiyomlardan "en az birini sağlamayan bir geometri Öklidyen olmayan bir geometridir" anlayışı yerleşmiş bulunmaktadır. Taksi, projektif, hiperbolik veya metrik geometriler örnek olarak verilebilir.